Bonjour,
1. La diagonale du carré correspond à l'hypoténuse d'un triangle rectangle isocèle de coté a.
D'après le th. de Pythagore et en notant d la longueur de la diagonale :
d² = a² + a² = 2a² soit d = a√2
2. Soit ABC un triangle équilatéral et I le milieu de [BC]
AB = AC, (AI) est donc la médiatrice de [BC]
On a donc (AI) ⊥ (BC)
Le triangle ABI est donc rectangle en I.
D'après le th. de Pythagore: AB² = AI² + BI² soit AI² = AB² - BI²
En notant AB = BC = AC = a, on a :
AI² = a² - (a/2)² = (1 - 1/4) a² = (3/4) a²
Soit AI = (√3/2) a
