Elias112ask
résolu

Bonjour , j’ai vraiment besoin d’aide .
On considère un triangle équilateral ABC et un point M à l'intérieur du triangle. On appelle M1, M2 et M3 les projetés orthogonaux du
point M sur les côtés du triangle ABC
Montrer, en calculant des aires, que la somme MM1 + MM2 + MM3 est constante
Merci


Répondre :

Caylusask

Bonjour,

Soit a le côté du triangle ABC, h sa hauteur.

En utilisant le théorème de Pythagore , h²=a²-(a/2)²

h=a/2*√3

Aire du triangle ABC=a*h/2=a²√3 /4

Soit h1=MM1,h2=MM2,h3=MM3

La somme des aires des 3 triangles ayant pour sommet M et 2 sommets du tr ABC vaut l'aire du triangle ABC

h1*a/2+h2*a/2+h3*a/2=a/2*(h1+h2+h3)=a²*√3/4

h1+h2+h3=a/2*√3 qui est une constante.

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