Exercice 3: Le but de cet exercice est de déterminer toutes les fonctions f. définies et dérivables sur ]0; +l'infini[ , telles que : V (appartient) x,y E R+*, f(xy) = f(x) + f(y)
Question préliminaire : nommer une fonction connue qui respecte les conditions précédentes
1) Implication Supposons d'abord que f est une telle fonction
a) Démontrer que f(1) = 0 Indice : Poser x = 1 y = 1
b) Soit a E R+* et g la fonction définie et dérivable sur R+* par g(x) = f(ax) Déterminer g'(x) de deux manières différentes Indice : (g(ax + b)) = a × g' (ax + b) et (u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)
c) En déduire que, V(appartient )x > 0,f'(x) = k/x avec k = f'(1) Indice : Puisque a peut être fixé, on peut poser que, V (appartient) x > 0, a =1/x
d) En déduire que, V x > 0, f(x) = k× In (x)
e) Pour résumer ce que nous venons de voir, compléter l'implication suivante :
Soit f une fonction définie et dérivable sur ]0; +l'infini[ . Alors :
......................................................→............................................. 2) Existence
Nous voulons ici montrer qu'une telle fonction existe bel et bien Soit a E R+* et g la fonction définie et dérivable sur R+* g(x) = In (ax)
a) Montrer que, Vx € R+*, g'(x) =1/x b) En déduire, en dérivant In(x) + In (a), que : Vx E R+*,In(ax) = In(a) + In(x)
