Rationnalité des nombres tels que 2,686868...
On a vu (DMA) que √2 est un nombre irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire
sous la forme d'une fraction. On a vu aussi que les nombres dont un morceau de la partie
décimale revient indéfiniment (ex: 0,333... ou celui du titre) ne sont pas des nombres
décimaux (car leur partie décimale est infinie) et on aimerait maintenant montrer qu'ils
peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction.
1) A l'aide de la calculatrice, trouver la forme fractionnaire des nombres suivants :
0,333.. ; 0,111.; 0,666... ; 1,090909...
Y
6
2) on aimerait trouver une méthode pour trouver à coup sûr la fraction égale à ces
nombres.
a
Ex: on voudrait trouver a et b tels que 2,686868...
b
a) La première chose à faire est de regarder la taille de la partie récurrente (la
partie récurrente est celle qui revient; ex: dans 2,686868..., c'est 68, sa
taille est 2 (2 chiffres), dans 3,745745..., c'est 745, sa taille est 3 (3
chiffres)).
On multiplie alors ce nombre par 10", où n est la taille de la partie
récurrente.
Ici, 2,686868... est multiplié par 102 c'est-à-dire 100.
2,686868... x 100 ........ (à compléter)
b) Ensuite, on décompose le résultat trouvé avec le nombre de départ :
Ainsi 2,686868... x 100 =2,686868... +
(*)(à compléter)
c) On note x le nombre 2,686868.... Ecrire l'équation qui découle de (*).
d) On obtient ainsi une équation du 1 degré à une inconnue qui est x, dont la
méthode de résolution a été vue. Résoudre cette équation.
e) Conclure.
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3) Application :
En utilisant la méthode exposée ci-dessus, trouver la forme fractionnaire des
nombres suivants :
1,222... ; 3,737373...; 5,587587...; et plus dur 1,7353535..