Stream est une plateforme informatique qui propose deux types de jeux vidéo : un jeu de type A et un jeu de type B.
Des que le joueur achève une partie, Stream lul propose une nouvelle partie selon le modele sulvant :
• sil vient de terminer une partle de type A, elle lul propose une nouvelle partie de type A avec une probabilité de 0,8;
• sil vient de terminer une partie de type B, elle lui propose une nouvelle partie de type B avec une probabilité de 0,7.
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on note An, et Bn, les événements « la n-ième partie est de type A » et
«la n-leme partie est de type B ».
Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on appelle an, la probabilité de l'événement An, et bn, la probabilité de l'événement Bn,
1. a. Recopier et compléter l'arbre pondéré di-dessous.

b.Montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal
à 1, an+1= 0,5an+0,3
On note a la probabilité que le joueur cholsisse une partie de type A lors de la première partie, où a est un réel appartenant à l'intervalle [0; 1]. La sulte (an) est donc définie par a1= a et pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1:
an+1=0,5a,+0,3.

2. Montrer que la suite (un) définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 par un=an- 0,6 est géométrique.

3. En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou
égal à 1: an= (a - 0,6)0,5an-1+ 0,6.

4. Déterminer la limite de la suite (a ). Cette limite dépend-elle de la valeur de a ?